如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．

（1）AD=18-2x，CD=16+x；（2）S=-2 （x-2） ² +72 ，当x=2时，S有最大值72 ；（3）R=2 ．


试题分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH= t，然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，于是可得AD=18-2x，CD=16+x；
（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=-2 x ² +8 x+64 ，再进行配方得S=-2 （x-2） ² +72 ，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6 ，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6 ，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6 -a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a ² +3 ² =R ² ，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6 -a） ² +9 ² =R ² ，然后消去R得到a的方程a ² +3 ² =（6 -a） ² +9 ² ，解得a=5 ，最后利用R ² =（5 ） ² +3 ² 求解．
试题解析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，

则四边形AHGB为矩形，
∴HG=AB=3x，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，DH=CG，
在Rt△ADH中，设DH=t，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAH=30°，
∴AD=2t，AH= t，
∴BC=2t，CG=t，
∵等腰梯形ABCD的周长为48，
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，
∴AD=2（8-x）=18-2x，
CD=8-x+3x+8-x=16+x；
（2）S= （AB+CD）•AH
= （3x+16+x）• （8-x）
=-2 x ² +8 x+64 ，
∵S=-2 （x-2） ² +72 ，
∴当x=2时，S有最大值72 ；
（3）连结OA、OD，如图②，

当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为 ×（8-2）=6 ，
则AE=3，DF=9，
∵点E和点F分别是AB和CD的中点，
∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，
∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6 ，
∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，
设OE=a，则OF=6 -a，
在Rt△AOE中，
∵OE ² +AE ² =OA ² ，
∴a ² +3 ² =R ² ，
在Rt△ODF中，
∵OF ² +DF ² =OD ² ，
∴（6 -a） ² +9 ² =R ² ，
∴a ² +3 ² =（6 -a） ² +9 ² ，解得a=5 ，
∴R ² =（5