求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosn
求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)]
赞 melissa-zhu 幼苗
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需要用到的知识点,等价无穷小+重要极限+洛必达法则
首先证明：当x→0,(cosnx)^(1/n) 1-(n/2)*x^2 (等价无穷小）
这是因为,lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n,应用洛必达法则,上下同时求导,得
上式 = lim(x→0)(-nsinnx)/[n*[(1-(n/2)*x^2)^(n-1)]*(-n*x) = lim(x→0)sinnx/nx = 1
于是
所求极限的分子可等价于
1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)
1-(1-(1/2)*x^2)*(1-(2/2)*x^2)*...*(1-(n/2)*x^n) 展开
1-(1-(1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 + o(x^4)) (1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 - o(x^4)
因此所求极限=(1/2+2/2+3/2+...+n/2)=(n+1)*n/2/2 = n*(n+1)/4
首先证明：当x→0,(cosnx)^(1/n) 1-(n/2)*x^2 (等价无穷小）
这是因为,lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n,应用洛必达法则,上下同时求导,得
上式 = lim(x→0)(-nsinnx)/[n*[(1-(n/2)*x^2)^(n-1)]*(-n*x) = lim(x→0)sinnx/nx = 1
于是
所求极限的分子可等价于
1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)
1-(1-(1/2)*x^2)*(1-(2/2)*x^2)*...*(1-(n/2)*x^n) 展开
1-(1-(1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 + o(x^4)) (1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 - o(x^4)
因此所求极限=(1/2+2/2+3/2+...+n/2)=(n+1)*n/2/2 = n*(n+1)/4
1年前 追问
7
额 好像不要用哦，， 本来式子应该是这样写的 ，1-(cosnx)^(1/n) ~ (n/2)*x^2 【类似于1-cosx ~(x^2)/2一样】
嗯。事实上，求极限，最好用的还是等价无穷小，多思考思考。
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求极限lim(1-√cosx)/(1-cos√x) (x→0+)
1年前3个回答
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗