已知定义域为R的函数f(x)＝−2x+a2x+1是奇函数．

解题思路：（Ⅰ）由R上奇函数的性质可得f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）设x₁＜x₂，利用作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，结合函数单调性的定义可作出判断；
（III）化简可得F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=-2+

2

24x−b+1

+

2

22x+1+1

，则问题转化为方程-2+

2

24x−b+1

+

2

22x+1+1

=0有解，化简得b=4^x+2^x+1，则问题转化为方程b=4^x+2^x+1有解，通过换元转化为求函数的值域即可；

（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即
−20+a
20+1=0，
∴[−1+a/2]=0，
解得a=1，
（Ⅱ）f（x）在R上单调递减．证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=
−2x+1
2x+1=-
2x−1
2x+1=-
2x+1−2
2x+1=-1+
2
2x+1，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+
2
2x1+1）-（-1+
2
2x2+1）=
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)，
∵x₁＜x₂，∴2 x2-2 x1＞0，2 x1+1＞0，2 x2+1＞0，
∴
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．
（III）F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=（-1+
2
24x−b+1）+（-1+
2

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，考查函数的零点，考查转化思想，考查学生分析问题解问题的能力．