（2010•扬州二模）已知A，B是△ABC的两个内角，a=2cos[A+B/2]i+sin[A−B/2]j（其中i，j是

解题思路：（1）利用向量模的公式得出关于角A，B的三角方程，利用二倍角公式、和差角公式化简三角方程，两边同除以cosAcosB得结论．
（2）据三角形的内角和为π，利用诱导公式求出tanC与tanA、tanB的关系，再利用基本不等式求出最大值．据三角形中，正切为负角为钝角，判断出三角形的形状．

（1）：|

a|2 ＝2cos2
A+B
2+sin2
A−B
2=[3/2]，
1+cos（A+B）+
1−cos(A−B)
2＝
3
2
cosAcosB-sinAsinB-[cosAcosB+sinAsinB/2]=0
[1/2−
3tanAtanB
2＝0则tanAtanB=
1
3]
（2）由（1）可知A、B为锐角
tanC=-tan（B+A）=-[tanA+tanB/1−tanAtanB]=−
3(tanA+tanB)
2≤−3
tanAtanB=−
3
所以tanC的最大值为−
3
此时三角形ABC为钝角三角形．

点评：
本题考点： 向量在几何中的应用．

考点点评： 本题考查求 向量的模的坐标公式；三角函数的二倍角公式；三角函数的和差角公式；三角函数的同角公式；利用基本不等式求函数的最值．