在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°．若AC=2AB，则BD=______．

解题思路：先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC²=CD²+2-2CD 得AC²=4BD²+2-4BD把AC=

2

AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．

用余弦定理求得
AB²=BD²+AD²-2AD•BDcos135°
AC²=CD²+AD²-2AD•CDcos45°
即 AB²=BD²+2+2BD ①AC²=CD²+2-2CD ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以 由（2）得AC²=4BD²+2-4BD（3）
因为 AC=
2AB
所以 由（3）得 2AB²=4BD²+2-4BD （4）
（4）-2（1）
BD²-4BD-1=0
求得 BD=2+
5
故答案为：2+
5

点评：
本题考点： 余弦定理．

考点点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．

如图

过A作AE⊥BC于点E

∵∠ADB=135°

∴∠ADC=45°

∵AE⊥BC，AD=√2

∴AE=DE=1

∵BC=3BD

∴BE=BD+DE=BD+1，EC=DC-DE=2BD-1

∵AC=√2AB

∴AC²=2AB²

∵AB²=AE²+BE²=1+(BD+1)²=BD²+2BD+2

AC²=AE²+EC²=1+(2BD-1)²=4BD²-4BD+2

∴4BD²-4BD+2=2(BD²+2BD+2)

即：BD²-4BD-1=0

[BD-(2+√5)]·[BD-(2-√5)]=0

∵BD＞0

∴BD=2+√5