如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．

解题思路：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A，B的坐标表示，设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，利用条件得出

D＝b E＝b−2

，写出圆C的圆心坐标的关系式，从而说明当b变化时，圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b-2）n=0，它对任意b≠0恒成立，从而求出m，n的值，从而得出当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标；
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，再利用不等关系，求出b，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A（-b，0），B（1-b，1-b）
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，
则

b2−bD＝0
(1−b) 2+(1−b) 2+(1−b)D+(1−b)E＝0⇒

D＝b
E＝b−2，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为x²+y²+bx+（b-2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x₀，y₀），
则x₀=-[b/2]，y₀=-[b−2/2]，∴y₀=x₀+1，
这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b-2）n=0，整理得（m+n）b+m²+n²-2n=0，
它对任意b≠0恒成立，∴

m+n＝0
m2+n 2−2n＝0⇒

m＝−1
n＝1或

m＝0
n＝0
故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（-1，1）．
（III）抛物线M的顶点坐标为（-[b/2]，-
b 2
4），若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，
则|-[b−2/2+
b 2
4]|≤

b 2
4+
(b−2) 2
4，
整理得（b²-2b）²≤0，因b≠0，∴b=2，
以上过程均可逆，故存在抛物线M：y=x²+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；圆的一般方程；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查了二次函数解析式的确定，圆的一般方程，抛物线的简单性质等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．