如图,AB是圆O的直径,OC是垂直于AB的半径,过弧AC上一点P作弦PE,分别交OC和弧BC于D,E两点

∵∠POA+∠EOB=180º-∠POE（平角等于180度）
且∠P+∠E=180º-∠POE（三角形内角和等于180度）
∴∠POA+∠EOB=∠P+∠E……1
∵OP=OE（同圆半径相等）
∴∠P=∠E……2（三角形中,等边对应的角也相等）
∵PO=PD（已知）
∴∠POD=∠PDO（三角形中,等边对应的角也相等）
则∠P=180º-2∠POD……3（三角形内角和等于180度）
∵OC⊥AB（已知）
∴∠POD=90º-∠POA……4（直角等于90度）
由1,2,3,4得：∠POA+∠EOB=∠P+∠E=2∠P=2x(180º-2∠POD)= 2x[180º-2x(90-∠POA)]=4∠POA
解方程得：
∴3∠POA=∠EOB
在同圆中,相等的圆心角对应的弧也相等
∴3弧AP=弧BE