已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y= 1 4 x 2 上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，

（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=
1
4 ；当x=4时，y=4
∴A（-1，
1
4 ）（1分）
B（4，4）（2分）
设直线AB的解析式为y=kx+b（3分）
则

-k+b=
1
4
4k+b=4
解得

k=
3
4
b=1
∴直线AB的解析式为y=
3
4 x+1（4分）
当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分）
方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N ，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分）
∵△BGF ∽ △BHA
∴
BG
BH =
FG
AH
∴
4-x
4-
1
4 =
4
5 （4分）
解得x=1
∴F（0，1）（5分）

（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根据勾股定理得：CF ² =CE ² +EF ² =1 ² +2 ² =5，
∴CF=
5 （6分）
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF ² =DE ² +EF ² =4 ² +2 ² =20
∴DF=2
5
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD ² =5 ² =25
∴CF ² +DF ² =CD ² （7分）
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF=
1+ (
3
4 ) 2 =
5
4 ，AC=
5
4
∴AF=AC（6分）
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC ∥ EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO（7分）
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）

（3）存在．
如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM ∽ Rt△OQP
∴
PM
PQ =
OM
OP ∴
PQ
OP =
PM
OM （10分）
设P（x，
1
4 x ² ）（x＞0），
则PM=
1
4 x ² ，OM=x
①当Rt△QPO ∽ Rt△CFD时，
PQ
OP =
CF
DF =

5
2
5 =
1
2 （11分）
∴
PM
OM =

1
4 x 2
x =
1
2
解得x=2∴P ₁ （2，1）（12分）
②当Rt△OPQ ∽ Rt△CFD时，
PQ
OP =
DF
CF =
2
5

5 =2（13分）
∴
PM
OM =

1
4 x 2
x =2
解得x=8
∴P ₂ （8，16）
综上，存在点P ₁ （2，1）、P ₂ （8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分）

1年前