f(x)＝ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的函数，其图象过原点，且f(12)＝25．

解题思路：（1）根据f(x)＝

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数，其图象过原点，且f(

1

2

)＝

2

5

，建立方程，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）先在（-1，1）上任取两个自变量，然后利用做差法比较对应函数值的大小即可

（1）∵f(x)＝
ax+b
1+x2是定义在（-1，1）上的函数，其图象过原点，且f(
1
2)＝
2
5．
∴b=0，

a
2+b
1+
1
4=[2/5]
∴b=0，a=1
∴f(x)＝
x
1+x2（x∈（-1，1））
（2）证明：任取x₁，x₂使-1＜x₁＜x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=
x1
1
+x21-
x2
1
+x22=
(x1−x2)(1−x1x2)
(1
+x21)(1
+x22)
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0；1-x₁x₂＞0；
∴
(x1−x2)(1−x1x2)
(1
+x21)(1
+x22)＜0
f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性，正确运用单调性的定义是关键．