椭圆x24+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为______．

解题思路：由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
与椭圆的方程联立距离解得第一象限的顶点A（x，y），再利用内接矩形的面积S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．

由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
联立

y＝kx

x2
4+y2＝1，
化为（1+4k²）x²=4，取第一象限的顶点A（x，y），
解得x＝
2

1+4k2，∴y＝
2k

1+4k2．
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×[4k
1+4k2=
16

1/k+4k]≤
16
2

1
k•4k=4．当且仅当k=[1/2]上取等号．
故椭圆
x2
4+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为4．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了椭圆的对称性、内接矩形的面积的最大值问题、基本不等式的性质，属于难题．