已知函数f（x）=（2a+1）ex+（a2-1）e-x，a∈R

（1）令f（0）=0，
∴（2a+1）×1+（a²-1）×1=0，
∴a=-2或a=0．
（2）∵f'（x）=（2a+1）e^x-（a²-1）e^-x
令f'（x）≥0，
∴
(2a+1)e2x−(a2−1)
ex≥0，
∴（2a+1）e^2x-（a²-1）≥0，
当a=-[1/2]时，不符合题意，舍去
所以2a+1≠0，
∴e^2x≥
a2−1
2a+1，
∵使得f（x）在R上是增函数，
∴
a2−1
2a+1≤0，
∴a≤-1或-[1/2]＜a≤1，
∴存在实数a，使得f（x）在R上是增函数，实数a的取值范围（-∞，-1]∪（-[1/2]，1]；

点评：
本题考点： 指数函数综合题；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题重点考查函数的奇偶性及其应用，注意奇函数的有关性质，掌握函数的单调性与导数之间的关系，属于中档题．