高二数学在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,D是BC上的一点且AD⊥C1D.（1）求证：A1B∥平面AC1D
高二数学
在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,D是BC上的一点且AD⊥C1D.
（1）求证：A1B∥平面AC1D.
（2）在棱CC1上是否存在一点P,使直线PB1⊥平面AC1D?
若存在,找出这个点,并加以证明；若不存在,请说明理由.
求高手告诉我 过程
在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,D是BC上的一点且AD⊥C1D.
（1）求证：A1B∥平面AC1D.
（2）在棱CC1上是否存在一点P,使直线PB1⊥平面AC1D?
若存在,找出这个点,并加以证明；若不存在,请说明理由.
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(1)
由正三棱柱性质知CC1⊥平面ABC,而AD⊂平面ABC,则CC1⊥AD；又AD⊥C1D,且C1D∩CC1=平面BCC1B1,则AD⊥平面BCC1B1；又由正三棱柱性质知平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,则AD⊥BC；在等边三角形ABC中,由三线合一原理知D为BC中点.
连接AC1、CA1交于O.连接OD.显然O为正方形ACC1A1对角线的交点,OD为平面AC1D与平面A1BC的交线.在三角形A1BC中,OD为中位线,即有A1B//OD,则A1B平面AC1D
(2)
P点存在.在平面BCC1B1上,过B1作PB1⊥C1D,交CC1于P.
因B1P⊂平面BCC1B1,AD⊥平面BCC1B1（(1)中有证明）,则B1P⊥AD
又B1P⊥C1D,AD∩C1D=平面AC1D
所以PB1⊥平面AC1D
由正三棱柱性质知CC1⊥平面ABC,而AD⊂平面ABC,则CC1⊥AD；又AD⊥C1D,且C1D∩CC1=平面BCC1B1,则AD⊥平面BCC1B1；又由正三棱柱性质知平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,则AD⊥BC；在等边三角形ABC中,由三线合一原理知D为BC中点.
连接AC1、CA1交于O.连接OD.显然O为正方形ACC1A1对角线的交点,OD为平面AC1D与平面A1BC的交线.在三角形A1BC中,OD为中位线,即有A1B//OD,则A1B平面AC1D
(2)
P点存在.在平面BCC1B1上,过B1作PB1⊥C1D,交CC1于P.
因B1P⊂平面BCC1B1,AD⊥平面BCC1B1（(1)中有证明）,则B1P⊥AD
又B1P⊥C1D,AD∩C1D=平面AC1D
所以PB1⊥平面AC1D
1年前
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