一个沉了的三角函数问题……设r,R分别为三角型ABC的内切圆和外接圆半径,为什么4R*sinA/2*sinB/2*sin

均由正弦定理证：
（1）由正弦定理：（R为外接圆半径）
a = 2R * sinA, b = 2R * sinB, c = 2R * sinC,
各式相加求得半周长 p：
p =(a+b+c)/2
= R * (sinA + sinB + sinC)
= R * (sinA + sinB + sin(180° - A - B)
= R * (sinA + sinB + sin(A + B)
= R * (sinA + sinB + sinA * cosB + cosA * sinB)
= R * (sinA * (1 + cosB) + sinB * (1 + cosA))
= R * (2sin(A/2)cos(A/2) * 2cos^2(B/2) + 2sin(B/2)cos(B/2) * 2cos^2(A/2))
= 4R * cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2) + sin(B/2)cos(A/2))
= 4R * cos(A/2)cos(B/2)sin((A + B)/2)
= 4R * cos(A/2)cos(B/2)sin(90° - C/2)
= 4R * cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
容易证明的是内切圆半径 r = S / p （这个好证,三个小三角形面积和,自己搞定吧,一般就直接当定理用）
所以三角形面积:
S = r * p = 4Rr * cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) （式1）
（2）同样由正弦定理：
a = 2R * sinA, b = 2R * sinB, c = 2R * sinC,
各式相乘求得三角形面积：
S = abc / (4R) = 2R^2 * sinA * sinB * sinC （式2）
三角形面积 S = abc / (4R) 也很好证,画个图用相似三角形证.（这个也一般当个定理用即可）
联立 式1 和 式2：
4Rr * cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) = 2R^2 * sinA * sinB * sinC
即可得：
r = 4R * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)