如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=34．

解题思路：（1）利用余弦定理把AC=2，BC=1，cosC＝

3

4

．即可求得AB．
（2）由cosC求得sinC，在由正弦定理求得sinA，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosA，用倍角公式求得sin2A和cos2A，进而利用两角和公式求得答案．

（1）由余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=4+1-2×2×1×
3
4=2．
那么，AB=
2
（2） 由cosC=
3
4，且0＜C＜π，
得sinC=
1-cos2C=

7
4．由正弦定理，[AB/sinC=
BC
sinA]，
解得sinA=
BCsinC
AB=

14
8．
所以，cosA=
5
2
8．
由倍角公式sin2A=2sinA•cosA=
5
7
16，
且cos2A=1-2sin2A=
9
16，
故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=
3
7
8．

点评：
本题考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．应熟练掌握这两个的定理的公式和变形公式．

AB^2=BC^2+AC^2-2BC*AC*cosC
AB=√2
sin(2A+C)=sin((A+C)+A)=sin(A+C)cosA+cos(A+C)sinA=sinBcosA-cosBsinA
cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=5√2/8,sinA=√(1-(cosA)^2)=√14/8
cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/2AB*BC=-√2/4,sinB=√(1-(cosB)^2)=√14/4
sin(2A+C)=√14/4*(5√2/8)+√2/4*(√14/8)=3√7/8