若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=

解题思路：利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（-∞，4]．

由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx²+（2a+ab）x+2a²．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴-[2a+ab/2b]=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，则f（x）=bx²与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值为4，
∴
4b×2a2
4b=4，∴2a²=4，
∴f（x）=-2x²+4．
故答案为-2x²+4

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法．

f(x)=4-x^2