若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，求该函数的解析式．

解题思路：由f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，知f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），故2ax+abx=0，a=0或2+b=0．由此能求出f（x）的解析式．

∵f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，
∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），
∴bx²-2ax-abx+2a²=bx²+2ax+abx+2a²，
∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，
∴a=0或2+b=0．
若a=0，则f（x）=bx²，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，
所以a≠0，故b+2=0，
∴b=-2，
所以f（x）=-2x²+2a²，
∵-2x²≤0，
所以值域是f（x）≤2a²，
∴2a²=4，
即f（x）=-2x²+4．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

f(x)=bx^2+(ab+2a)x+2a^2
偶函数
f(-x)=bx^2-(ab+2a)x+2a^2=f(x)=bx^2+(ab+2a)x+2a^2
所以ab+2a=0
a(b+2)=0
a=0或b=-2
若a=0
f(x)=bx^2,此时值域是f(x)>0或f(x)<0
不合题意
所以b=-2
f(x)=-2x^2+2a^2
最大值=4
所以2a^2=4
所以f(x)=-2x^2+4