在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．

解题思路：（Ⅰ）整理题设a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），进而可推断数列{a_n-n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{a_n-n}的通项公式，进而可得{a_n}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得S_n．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的S_n代入S_n+1-4S_n整理后根据−

1

2

(3n2+n−4)≤0证明原式．

（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
所以数列{a_n}的前n项和Sn＝
4n−1
3+
n(n+1)
2．
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N^*，Sn+1−4Sn＝
4n+1−1
3+
(n+1)(n+2)
2−4(
4n−1
3+
n(n+1)
2)=−
1
2(3n2+n−4)≤0．
所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．

考点点评： 本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．

（1）A(n+1)-（n+1）=4A(n)-4n
【A(n+1)-（n+1）】 =4【A(n)-n】
【A(n+1)-（n+1）】 /【A(n)-n】=4
然后你懂得……
（2）S(n) =（4{n}-1）/3
（3）S(n+1)=（4{n+1}-1）/3
4S(n)=4（4{n}-1）/3=（4{n+1}-4）/3
我觉得应该是S(n+1）大于4S(n)恒成立才对嘛~~~

（1）由A(n+1)=4A(n)-3n+1可知
A(n+1)-(n+1)=4(A(n)-n)
即
(A(n+1)-(n+1))/(A(n)-n)=4
A(1)-1=1
所以
{A(n)-n}是首项为1公比为4的等比数列
（2）{A(n)...

(1)A(n+1)=4A(n)-3n+1 A(n+1)-(n+1)=4(A(n)-n)
(2)设B(n)= A(n)-n,所以B1=A1-1=1,所以B(n)=4*（n-1），所以A(n)=4*（n-1）+n
S（n）=[4*(n)-1]/3+n(n+1)/2 (前面是等比数列的求和，后面是等差求和)
(3)S(n+1)-4S(n)...