函数可导的问题在定积分中我们可以学到,存在第二类间断点的导函数 是有可能存在原函数的,但函数可导的充分必要条件是左导数=

先举个例子,令
f(x) = x^2*sin(1/x),把可去间断点补充进去令,f(0) = 0.
则知道f(x)处处可导.并且点 x = 0 就是第二类间断点.
我觉得你的问题应该在于不理解为什么这种函数存在,关键还是在对概念的理解上.
可导的充要条件是左导数等于右导数,是对这一点而言的.（为了说明方便,这点设为x0）
而导函数连续不连续则涉及到x0周围点的导数,而并不是x0的导数.要x0周围的导数的极限趋于x0的导数才连续,不然就是间断点了.
其实你的问题相当于在问一个函数在一点有定义（左导数等于右导数）,与这一点的极限存在的关系（左连续与右连续）.
希望这样说了你能明白.

|f(x)|在x=a处可导，而且函数取得极小值0，所以|f(x)|在x=a出的导数值为0 |f(x)-f(a)|/|x-a| = ||f(x)|-|f(a)|/(x-a)|，右