如图,AB是圆O 的直径,AE交于圆O于点F ,且与圆O的切线CD垂直,垂足为D.

分析：（1）连接BC,根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系,可以推出AC平分∠DAB,即∠EAC=∠BAC；
（2）作OE⊥AD,根据线与线之间的关系,利用勾股定理即可得出圆的半径．
（1）连接OC,
∵CD是切线,
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,
∴∠EAC=∠ACO．
∵∠BAC=∠ACO,
∴∠EAC=∠BAC．
（2）做OE⊥AD,设半径为x,
∵CD⊥AD,
∴OE∥CD；
又OC⊥CD,
∴OC∥AD,
∴四边形OEDC是矩形,
∴OE=CD=4,AE=8-x,
∴4^2 （8-x）^2 =x^2 ,
∴x=5．
在Rt△ABC中
BC^2=AB^2-AC^2=100-80=20
即BC=2√5
tan∠BAC=BC/AC=√2/2
tan∠BAE=tan（2∠BAC）=（2tan∠BAC）/（1-tan∠BAC的平方）=2√2

（1）
证明：如图，连结CB
因为AE垂直CD，垂足为D
所以有角ADC=90度
因为AB为圆的直径
所以有角ACB=90度
即有
角ADC=角ACB=90度……①
因为CD为圆切线，AC为圆的弦。
根据弦切线定理可知角ACD=角ABC ……②
由① ②可知，三角形ACD相似于三角形ABC
所以有对应角

附上图