已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的

(1)设椭圆为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),双曲线为x²/m²-y²/n²=1 (m>0,n>0),抛物线为y²=2px
将点M(1,2)代入抛物线方程得到p=2
于是抛物线为y²=4x,焦点为F1(1,0)
则椭圆和双曲线的焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),所以
a²-b²=1 …………①
m²+n²=1 …………②
将点M(1,2)代入椭圆方程得1²/a²+2²/b²=1,整理得
1/a²+4/b²=1 …………③
将点M(1,2)代入双曲线方程得1²/m²-2²/n²=1,整理得
1/m²-4/n²=1 …………④
①②③④联立解得
a²=3+2√2,b²=2+2√2,m²=3-2√2,n²=2√2-2
所以
椭圆方程为x²/(3+2√2) +y²/(2+2√2)=1
双曲线方程为x²/(3-2√2) -y²/(2√2-2)=1
抛物线方程为y²=4x
(2)楼主的题目一定有误,直径应为AB而不是AP,否则题目没法做.
假设存在直线N：x=xo,因为直线AB过点P(3,0),所以可设AB的直线方程为x=uy+3
再设A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线AB与抛物线y²=4x联立消x得
y²-4uy-12=0
由韦达定理有
y1+y2=4u
y1y2= -12
则(2*半径) ²= (x1-x2)²+(y1-y2)²
弦心距=|(x1+x2)/2-xo|
在由圆心、弦中点、弦的某一端点,三点组成的直角三角形中,由勾股定理有
(弦长/2)²=半径² -弦心距²,代入数值得
弦长²= (x1-x2)²+(y1-y2)² -4*[(x1+x2)/2-xo]²
= [(uy1+3)- (uy2+3)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+3+uy2+3)/2-xo]²
= [u(y1-y2)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+uy2+6)/2-xo]²
= (u²+1)(y1-y2)² -[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(y1+y2)² -4y1y2]-[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(4u)² -4*(-12)]-[u(4u)+6-2xo]²
= (u²+1)(16u² +48)-(4u²+6-2xo)²
= 16(1+xo)u²-4xo²+24xo+12
要使弦长为定值,就是使弦长与u无关,所以u的系数16(1+xo)为0
令16(1+xo)=0,得xo= -1
所以存在直线N：x= -1,满足题设的条件.

(2)
抛物线方程y^2=4x.设点A(t^2,2t),圆方程为(x-3)(x-t^2)+y(y-2t)=0,与直线x=a联立，得
y^2-2ty+(a-3)(a-t^2)=0.

弦长l=|y_1-y_2|=2sqrt{(a-2)t^2-a(a-3)}.因此a=2时，l为定值2sqrt{2}.

椭圆的方程为x=cy^2 c>0 过M点 知道方程了吧？?
抛物线的焦点坐标公式总归知道吧？？？（书上有）
这个焦点就是三条曲线的共同焦点 （a，0） 则（-a，0）也是双曲线以及椭圆的焦点
双曲线和椭圆都是标准曲线 又过M点 这还算不出来我就没辙了...

1
设抛物线为y^2=2PX,将，x=1,y=2代入得到P=2
于是抛物线为y^2=4x,交点为A（1，0）
则椭圆和双曲线的交点为A（1，0）B（-1，0）
设椭圆为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
则c^2=a^2-b^2=1
将x=1,y=2代入
得到a^2=3+2√2 b^2=2+2√2
椭圆为
x^2...