已知函数f（x）=（ax 2 +x）e x ，其中e是自然数的底数，a∈R．

（1）因为e ^x ＞0，所以不等式f（x）＞0即为ax ² +x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为x（x+
1
a ）＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集为（0，-
1
a ）．
（2）当a=0时，方程即为xe ^x =x+2，由于e ^x ＞0，所以x=0不是方程的解
所以原方程等价于 e x -
2
x -1=0 ，令h（x）= e x -
2
x -1 ，
因为h′（x）= e x +
2
x 2 ＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）内是单调增函数，
又h（1）=e-3，h（2）=e ² -2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有1个实数根，在区间[1，2]，
所以正整数k的值为 1．
（3）f′（x）=（2ax+1）e ^x +（ax ² +x）e ^x =[ax ² +（2a+1）x+1]e ^x ，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e ^x ，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；
②当a≠0时，令g（x）=ax ² +（2a+1）x+1，因为△=（2a+1） ² -4a=4a ² +1＞0，
所以g（x）=0有两个不相等的实数根x ₁ ，x ₂ ，不妨设x ₁ ＞x ₂ ，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，
故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x ₁ ＞0＞x ₂ ，
因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，
必须满足

g(1)≥0
g(-1)≥0 即

3a+2≥0
-a≥0 ，所以 -
2
3 ≤a＜0 ．
综上可知，a的取值范围是[ -
2
3 ，0 ]．