如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,且AC=PC,∠BOC=2∠BCP.

（1）证明：∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）
（2）证明：∵AC=PC,
∴∠A=∠P,
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,
∴∠COB=∠CBO,
∴BC=OC．
∴BC=12AB．（6分）
连接MA,MB,
∵点M是AB^的中点,
∴AM^=BM^,
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM,
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC,
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径,AM^=BM^,
∴∠AMB=90°,AM=BM．
∵AB=4,
∴BM=22．
∴MN•MC=BM2=8．（10分）