如图,已知：在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线
如图,已知：在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线
交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.NP=2,PC=3.
（1）求BC的长;
（2）在直线BM上有一动点G,当CG+QC最短时,求BG的长度.
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∵BA⊥AM,MN⊥AC,∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB,∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN,∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM,PQ=AN,∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°,∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC,∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°,BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC,∴PC=AN．
∵NP=2 PC=3,∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8,∴AM=AP=5
∴AQ=MN=根号MA^2-AN^2=4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=MN/AN=4/3
∵tan∠ABC=AC/BC,∴BC=6
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB,∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN,∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM,PQ=AN,∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°,∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC,∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°,BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC,∴PC=AN．
∵NP=2 PC=3,∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8,∴AM=AP=5
∴AQ=MN=根号MA^2-AN^2=4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=MN/AN=4/3
∵tan∠ABC=AC/BC,∴BC=6
1年前
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