如图,已知点A、B在双曲线 （x＞0）上,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD交于点P,求证：AB平行于CD

证明：设双曲线的方程为Y=M/X,设A点的坐标为(X1,Y1),B点的坐标为（X2,Y2) ,则直线 AB的斜率K1=（Y1-Y2 ）/（X1-X2）,又Y1=M/X1,Y2=M/X2,所以K1=[（M/X1）-（M/X2）]/（X1-X2）=-M/（X1*X2）.点D的坐标为（0,Y2）,点C的坐标为（X1,0）,则直线DC的斜率K2=（Y2-0）/（0- X1 ）=-（Y2/X1）=-（M/X2）/X1=-M/（X1*X2）.综上,由于K1=K2=-M/（X1*X2）,故 AB平行于CD .

连接AD、CD、BC；
∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，
∴AC⊥BD；
设A（m，n），则mn=k，P（m，n/2），
B点纵坐标为n/2，横坐标为2m，
∴PD=PD，
又AP=PC，
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB平行CD