（2013•武汉模拟）设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．

解题思路：（Ⅰ）对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围；
（Ⅱ）由x₁、x₂的关系，用x₂把a表示出来，求出f（x₂）的表达式最小值与[1−2ln2/4]比较即可．

（Ⅰ）由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+[a/x]=
2x2−2x+a
x；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜[1/2]；
方程的两根为x₁=
1−
1−2a
2，x₂=
1+
1−2a
2；
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=[a/2]＞0，
∴a＞0；
综上，a的取值范围为（0，[1/2]）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴[1/2]＜x₂＜1，a=2x₂-2x
22，
∴f（x₂）=x
22-2x₂+1+（2x₂-2x
22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中[1/2]＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（[1/2]，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（[1/2]，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（[1/2]）=[1−2ln2/4]．
故f（x₂）=g（x₂）＞[1−2ln2/4]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；不等式的证明．

考点点评： 本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．