已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量OA，OB，OC满足：OA−(32x2+1)•OB−[ln(2+3
已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量
，
，
满足：
−(
x2+1)•
−[ln(2+3x)−y]•
＝
．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意x∈[
，
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| 3 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| 0 |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意x∈[
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
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解题思路：（Ⅰ）根据向量
，
，
满足：
−(
x2+1)•
−[ln(2+3x)−y]•
＝
，结合A、B、C是直线l上不同的三点，即可求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，原不等式为|a−lnx|−ln(
)＞0，得a＜lnx−ln
，或a＞lnx+ln
，分别求出对应函数的最小值与最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b变形为ln(2+3x)+
x2−2x＝b，研究左边对应函数的最值，即可求得实数b的取值范围．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| 3 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| 0 |
（Ⅱ）求导函数，原不等式为|a−lnx|−ln(
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b变形为ln(2+3x)+
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）向量
OA，
OB，
OC满足：
OA−(
3
2x2+1)•
OB−[ln(2+3x)−y]•
OC＝
0．
∴
OA＝(
3
2x2+1)•
OB+[ln(2+3x)−y]•
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；平面向量的综合题．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，属于中档题．
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