已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．

（Ⅰ）由于f′(x)＝
a(1−x)
x(x＞0)，…（2分）
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）要证
ln2
2×
ln3
3×
ln4
4×…
lnn
n＜
1
n(n≥2，n∈N*)成立；
只须证
lnn
n＜
n−1
n]（n≥2，n∈N^*，）
即证lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面证明此式．
证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈[1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
故结论成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于难题．

1年前

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