13477 幼苗
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(1)g′(x)=2a+
b
x,则g'(1)=2a+b=3,又g(1)=2a+1=3,
解得a=1,b=1,所以g(x)=2x+1+lnx.
(2)由题意,(m-3)ex>2x+1+lnx对一切x>0恒成立,
分离参数m得m>
2x+1+lnx
ex+3,
令h(x)=
2x+1+lnx
ex+3,则h′(x)=
1+
1
x−2x−lnx
ex,
令t(x)=1+
1
x−2x−lnx,探根:令x=1,则t(1)=0,
又t′(x)=−
1
x2−2−
1
x<0,说明函数t(x)过点(1,0),且在(0,+∞)上单调递减,
其大致图象如图.
观察图象即知,当x∈(0,1)时,t(x)>0;当x∈(1,+∞)时,t(x)<0.
又易知h'(x)与t(x)同号,所以h(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,
即hmax(x)=h(1)=
3
e+3,故所求m取值范围为(
3
e+3,+∞).
(3)由题意,原方程等价于分离参数后的方程m=[2x+1+lnx
ex+3,
仍令h(x)=
2x+1+lnx
ex+3,则由(1)知:h(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.
又当x→0+时,h(x)→-∞;当x→+∞时,h(x)→3,即直线x=0(y轴)和y=3是函数h(x)图象的两条渐近线,
所以h(x)的大致图象如图2,观察图象即知:
当m=
3/e]+3或m∈(-∞,3]时,方程f(x)=g(x)根的个数为1;
当m∈(3,[3/e]+3)时,f(x)=g(x)根的个数为2;
当m∈([3/e]+3,+∞)时,f(x)=g(x)根的个数为0.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的切线问题,研究函数的单调性、最值等知识,考查学生转化划归思想、分类讨论思想的运用能力及分析问题、解决问题的能力,属难题.
1年前
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(2013•成都模拟)设函数f(x)=x2+bln(x+1).
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(2011•武昌区模拟)设函数f(x)=x2+bln(x+1).
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