函数f（x）=x2+bln（x+1）-2x，b∈R．

解题思路：（1）把b=1代入解析式，使得解析式具体，对于函数求导利用导函数的几何意义即可求的；
（2）把b＝

3

2

代入解析式，由函数求导得导函数，求出函数在定义域上的极值，在与区间端点值进行比较大小，进而求得函数在区间上的最值；
（3）由于g（x）=f（x）+2x，由函数解析式求导得其导函数，利用导函数得到函数在区间上的单调性，进而得到要证明的不等式．

（1）当b=1时，f（x）=x²+ln（x+1）-2x定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+
1
x+1-2，f^′（0）=-1，又f（0）=0，
故有直线的方程可知：曲线f（x）在点（0，f（0））出的切线方程为：y=-x，
（2）当b=[3/2时，f(x)=x2+
3
2ln(x+1)-2x，
求导得：f′(x)=2x+
3
2(x+1) -2=
4x2-1
2(x+1)]，
由f^′（x）=0⇒x=±
1
2，
当x变化时，f^′（x），f（x）的变化情况如下表：

由上表可知：f(x)极大值=f(-
1
2)=
5
4-
3
2ln2，f(1)=
3
2ln2-1，而f(-
1
2)-f(1)=
9
4-3ln2＞2.25-2.1=0.15＞0，
所以f(-
1
2)＞f(1)，所以函数f（x）在（-1，1]上的最大值为：[5/4-
3
2ln2，
（3）证明：∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x
∴f′(x)=2x+
b
x+1-2=2(x+1)+
b
x+1-4 ≥2
2(x+1)•
b
x+1-4=2
2b-4≥2
2×2-4=0．
当且仅当2（x+1）=
b
x+1]，即：b=2，且x=0时取等号，
∴b≥2时，函数f（x）在（-1，+∞）内单调递增，从而对于任意x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁≥x₂，有f（x₁）＞f（x₂），即
g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂∴g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，还考查了导数的几何含义进而求出曲线上任意一点处的切线方程，还考查了利用均值不等式求解函数的最值．

1 f(x)=-x^2+1 f'(x)=-2x f(1)=0 f'(1)=-2 切线方程 y=-2(x-1) 2 f'(x)=0 x=0 f''(x)=-2<0 f(0)=1是f(x)最大值 3 f(x)=-x^2+b≤-lnx -x^2+b+lnx≤0 令g(x)=-x^2+b+lnx (x>0) g'(x)=-2x+1/x g'(x)=0 -2x+1/x=0 x=±√2/2 取x=√2/2 g''(x)=-2x^2-1/x^2<0 g(√2/2)为最大值 g(√2/2)=-1/2+b-ln(√2/2≤0 b≤1/2+ln(√2/2)

当b=1，f(x)=x^2+ln(1+x)-2x
f'(x)=2x+1/(x+1)-2
f(0)=0,f'(0)=-1,切线方程为:y=-x
当b=3/2，f(x)=x^2+(3/2)*ln(x+1)-2x
f'(x)=2x+3/[2(x+1)]-2=[(2x-2)(x+1)+3/2]/(x+1)=(4x^2-1)/(2x+2)
定义域x>-1，令f'...

(1)当b=1时，f(x)=x^2+㏑(x+1)-2x,将x=0，代入后得：y=0；
(2)当b=3/2时，f(x)=x^2+1.5㏑(x+1)-2x,则f'(x)=2x+1.5/(x+1)-2=2(x+1)+1.5/(x+1)-4,
∵x∈（-1，1],
∴x+1∈（0，2],∴其最大值为f(0)=0;
(3)g(x)=x^2+b㏑(x+1),其定义域为（-1，+...

这个太简单了，画个图就出来了

1 f(x)=-x^2+1 f'(x)=-2x f(1)=0 f'(1)=-2 切线方程 y=-2(x-1) 2 f'(x)=0 x=0 f''(x)=-2<0 f(0)=1是f(x)最大值 3 f(x)=-x^2+b≤-lnx -x^2+b+lnx≤0 令g(x)=-x^2+b+lnx (x>0) g'(x)=-2x+1/x g'(x)=0 -2x+1/x=0 x=±√2/2 取x=√2/2 g''(x)=-2x^2-1/x^2<0 g(√2/2)为最大值 g(√2/2)=-1/2+b-ln(√2/2≤0 b≤1/2+ln(√2/2)