（2007•山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．

解题思路：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥[1/2]，0＜b＜[1/2]，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．
（Ⅲ）先构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x＝

1

n

，即可证得结论．

（Ⅰ）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域在（-1，+∞）
f′(x)＝2x+
b
x+1＝
2x2+2x+b
x+1
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在(−
1
2，+∞)上递增，在(−1，−
1
2)上递减，g(x)min＝g(−
1
2)＝−
1
2+b，当b＞
1
2时g(x)min＝−
1
2+b＞0
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即当b＞
1
2时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当b＞
1
2时函数f（x）无极值点
（2）当b＝
1
2时，f′(x)＝
2(x+
1
2)2
x+1，
∴x∈(−1，−
1
2)时，f′(x)＞0x∈(−
1
2，+∞)时，f′(x)＞0，
∴b＝
1
2时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点
（3）当b＜
1
2时，解f'（x）=0得两个不同解x1＝
−1−
1−2b
2，x2＝
−1+
1−2b
2
当b＜0时，x1＝
−1−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；不等式的证明．

考点点评： 本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用和不等式的证明方法，属于中档题．