设函数f（x）=x2-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．

解题思路：（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分离参数的方法求得a的取值范围；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的条件下，讨论函数f（x）的单调性，求导，比较方程f′（x）=0两根的大小，确定函数的单调区间．

（1）当b=1时，函数f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定义域为（-1，+∞）．∴f′(x)＝2x−a+
b
x+1．
∵函数f（x）是增函数，∴当x＞-1时，∴f′(x)＝2x−a+
b
x+1≥0恒成立．
即当x＞-1时，a≤2x+
1
x+1恒成立．
∵当x＞-1时，2x+
1
x+1＝2(x+1)+
1
x+1−2≥2
2−2，
且当x＝

2
2−1时取等号．∴a的取值范围为(−∞，2
2−2]．
（2）∵f′(x)＝2x−a+
b
x+1，且函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此时f′(x)＝2x−a+
2a−4
x+1＝
2(x−1)(x−
a−4
2)
x+1．
当[a−4/2＝1，即a=6时，f'（x）≥0恒成立，
此时x=1不是极值点．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)＝
2(x−1)(x−
a−4
2)
x+1]得
①当a＜2时，[a−4/2≤−1．∴当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0．∴当a＜2时，
f（x）的单调递减区间为（-1，1），单调递增区间为（1，+∞）．
②当2＜a＜6时，−1＜
a−4
2＜1．
∴当-1＜x＜
a−4
2]，或x＞1时，f'（x）＞0；
当
a−4
2＜x＜1时，f'（x）＜0；
∴当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(
a−4
2，1)，
单调递增区间为

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查函数在某点取得极值的条件和函数的单调性与导数的关系，在求a的取值范围时采取的分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，讨论函数单调性是，对于程f′（x）=0两根的大小的比较，体现了分类讨论的思想方法，属难题．