设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，其中an=S1，n＝1Sn−Sn−1，n≥

解题思路：（1）先确定S_n-1S_n-2S_n+1=0，再计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）由（1）猜想S_n=[n/n+1]，用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．

（1）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=[1/2]，S₂=a₁+a₂=[1/2+
1
6]=[2/3]．
由①可得S₃=[3/4]．
（2）由（1）猜想S_n=[n/n+1]，
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=[k/k+1]，
当n=k+1时，由①得S_k+1=[1
2−Sk，即S_k+1=
k+1/k+2]，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=[n/n+1]对所有正整数n都成立．

点评：
本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的函数特性，考查考查了数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立