如图,​在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=5,OB=6,OM垂直于AB,垂足为M,动点P,Q同时从点

（1）在Rt△AOB中,∠A=90°,AB=6,OB=4
3
,
sin∠AOB=
AB
OB
=
6
4
3

=
3

2
,则∠AOB=60°．
因为OC平分∠AOB,∴∠AOC=30°,OA=
1
2
OB=2
3
．
在Rt△AOC中,∠A=90°,∠AOC=30°,AC=
OA
3

=2,OC=2AC=4,
所以BC=AB-AC=4．
（2）本题分三种情况：
①当点P在BC上、点Q在OC上运动时,（0＜t＜4）如图（1）CP=4-t,CQ=t
过点P作PM⊥OC交OC的延长线于点M．
在Rt△CPM中,∠M=90°,∠MCP=60°
∴CM=
1
2
PC=
1
2
(4-t),PM=
3
CM=
3

2
(4-t),
∵S△CPQ=
1
2
QC•PM,
∴S=
1
2
×t•
3

2
(4-t)=
3

4
t(4-t)．
②当t=4时,点P与点C重合,点Q与点O重合,此时,不能构成△CPQ；
③当点P在OC上、点Q在OQ上运动时即（4＜t≤8）,
如图（2）PC=t-4,OQ=t-4,
过点Q作QN⊥OC交OC于点N,
在Rt△OQN中,∠QNO=90°,∠QON=60°,ON=
1
2
OQ=
1
2
(t-4),QN=
3
ON=
3

2
(t-4),
所以S=
1
2
PC•QN=
1
2
×(t-4)•
3

2
(t-4)=
3

4
(t-4)2,
综上所述S=
3

4
t(4-t)(0＜t＜4)
3

4
(t-4)2

．
（3）△OPE为等腰三角形分三种情况：
①当OP=OE时,OQ=t-4,OP=8-t
过点E作EH⊥OQ于点H,则QH=EH=
1
2
OE,OH=
3

2
OE,
∴OQ=HQ+OH=(
1
2
+
3

2
)OE=t-4．∴OE=
2(t-4)
1+
3

=OP=8-t,解得：t=
12+4
3

3
,
②当EP=EO时,如图：△OPQ为30°的直角三角形,OQ=
1
2
OP,
1
2
(8-t)=t-4,t=
16
3
．
③当PE=PO时,PE∥OF,PE不与OF相交,故舍去．
综上所述,当t=
12+4
3

3
和t=
16
3
时,△OPE为等腰三角．