如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

解题思路：（1）由A（2，1）为顶点，设抛物线顶点式，将O（0，0）代入求抛物线解析式；
（2）设平行线x轴的直线为y=m，将y=m与（1）中的抛物线解析式联立，求|x₁-x₂|，根据|x₁-x₂|=2|m|，列方程求m的值，确定该圆的圆心坐标；
（3）不存在．所得△OBN为等腰三角形，其底边为ON或BN，当ON为底边时，ON∥AB，当NB为底边时，NB∥OA，根据OA，AB的直线解析式，分别求NB，ON的解析式，再与抛物线解析式联立，求N点坐标．

（1）由A（2，1）为抛物线顶点，设抛物线解析式为y=a（x-2）²+1，
将O（0，0）代入，得a（0-2）²+1=0，解得a=-[1/4]，
所以，抛物线解析式为y=-[1/4]（x-2）²+1，即y=-[1/4]x²+x；

（2）设平行线x轴的直线为y=m，C、D两点横坐标为x₁、x₂，
联立

y＝m
y＝−
1
4x2+x，解得x²-4x+4m=0，
则CD=|x₁-x₂|=
(x1+x2)2−4x1x2=
16−16m，
当以CD为直径的圆恰好与x轴相切时，CD=2|m|，即
16−16m=2|m|，
整理，得m²+4m-4=0，解得m=-2±2
2，
由抛物线的对称性可知，圆心在抛物线的对称轴上，
所以，圆心坐标为（2，-2+2

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据顶点坐标利用顶点式求抛物线解析式，根据圆与x轴相切时，直径半径的关系列方程，利用平行线构造等腰三角形，解方程组得出相似三角形的第三个顶点坐标．