（文科）已知函数f(x)＝2x+33x，数列{an}满足a1＝1，an+1＝f(1an)(n∈N*)．

解题思路：（1）先由函数f(x)＝

2x+3

3x

，化简an+1＝f(

1

an

)(n∈N*)，得an+1＝an+

2

3

，数列{a_n}为等差数列，按照等差数列通项公式来求．
（2）∵T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，化简得，T_n=−

4

3

(a2+a4+…+a2n)=−

4

9

(2n2+3n)，可用分组求和．
（3）先根据a_n求b_n，再用裂项求和求S_n，数列的最值问题有两种思路，一是利用数列的函数性质，二是利用数列的递推性质．

（1）由an+1＝f(
1
an) 得 an+1＝an+
2
3
∴数列{a_n}为等差数列
∴an＝
2n
3+
1
3 （n∈N^*）
（2）T_n=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=−
4
3(a2+a4+…+a2n)
=−
4
9(2n2+3n)
（3）bn＝
9
(2n−1)(2n+1)(n≥2) b₁=3也适合上式．
故bn＝
9
2(
1
2n−1−
1
2n+1)
∴sn＝
9
2[(1−
1
3−)+(
1
3−
1
5)+…+(
1
2n−1−
1
2n+1)]=[9n/2n+1]
恒成立
9n2n+1＜m-20002对n∈N^*恒成立
又[9n/2n+1＝
9
2(1−
1
2n+1)＜
9
2]
∴[m−2000/2≥
9
2]，∴m≥2009
故最小的正整数m为2009

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题综合考查了数列通项、数列求和、数列的函数性质，解题时要认真观察，仔细把握，灵活运用