已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4处取得极值．

解题思路：（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx²+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．

（1）f'（x）=3kx²+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得k＝
1
3．…（2分）
（2）由（1）可知f(x)＝
1
3x3−2x2+
8
9，
f'（x）=x²-4x=x（x-4），
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；…（2分）
∴极大值为f(0)＝
8
9，极小值为f(4)＝−
88
9．…（2分）

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，属于基础题．