线性代数问题已知三阶矩阵Α 的特征值为1,-1,-1/2,则行列式|A^-1+2E|=?设矩阵A=1 0 ,则A^10=

A的特征值为1,-1,-1/2,说明A逆的特征值为1,-1,-2.因此A^-1+2E的特征值为3,1,0.而|A^-1+2E|=3×1×0=0
矩阵A=（1,0；1,1）=（0,0；1,0）+（1,0；0,1）,另矩阵）（0,0；1,0）=B,则A=B+E
因此A^10=（B+E）^10=B^10+10×B^9×E+...+10×B×E^9+E^10(二项式展开)
我们知道B^2=B,因此B^3=B^4=...=B^10,
所以A^10=（B+E）^10=B^10+10×B^9×E+...+10×B×E^9+E^10
=B+10B+...+10B+E=（1+10+45+...+10+1-1）B+E（二项式系数）
=[（1+1）^10-1]B+E
=2^10B+E
=1 0
2^10+1 1

A有三个不同的特征值，则存在正交矩阵Q使得A=Q'(diag{1,-1,-1/2})Q，于是A^(-1)=Q(diag{1,-1,-2})Q'。A^(-1)+2E = Q(diag{1,-1,-2})Q' + 2QEQ'，所以|A^(-1)+2E|=0。
第二题，也是正交对角化的方法。