一道线性代数题已知三阶矩阵A的各行元素之和都为6,且AB=B,其中B=(112213123)求A

解: 由 AB=B 得(A-E)B = 0
所以1是A的特征值, B的列向量都是 (A-E)X = 0 的解.
又因为|B| = 0, B 的1,2列线性无关, 所以 r(B)=2
所以B的2个线性无关的列向量是属于特征值1的线性无关的特征向量.
又因为 A的各行元素之和都为6,
所以6是A的特征值, (1,1,1)' 是A的属于6的特征向量.
令 P =
1 1 1
2 1 1
1 2 1
则P可逆, 且 P^-1AP = diag(1,1,6)
所以 A = Pdiag(1,1,6)P^-1.

设A= a11,a12,a13
[ a21,a22,a23 ]
a31.a32,a33
AB= A1B1,A1B2,A1B3
[ A2B1,A2B2,A2B3 ]
A3B1,A3B2,A3B3
A1B1=a11+2a12+a13=1, A1B2=a11+a12+2a13=1,A1B3=2...

注意A*(1,1,1)'=(6,6,6)'，于是A*((1,1,1)',(1,1,1)',(3,3,3)')=((6,6,6)',(6,6,6)',(18,18,18)')
又AB=B，做差得到
A((0,1,0)',(0,0,1)',(-1,0,0)')=((-5,-4,-5)',(-5,-5,-4)',(-16,-15,-15)')
两边列变换得到A=AE=((16,15,15)',(-5,-5,-4)',(-5,-4,-5)')