设f(x)＝2x+a2x−1（a为实常数）．

解题思路：（1）设x₁＜x₂，再进行作差f（x₁）-f（x₂），代入解析式进行化简，根据条件判断出符号，最后下结论；
（2）先设y=g（x）的图象任一点为P（x，y），再求出对称点（-x，y）代入f（x）=2^x-1，进行整理即可；
（3）将方程2x+

a

2x

−1＝0进行化简，再设t=2^x，则t＞0，代入后得到关于t的二次方程，利用a的范围和求根公式进行求解，再求出x的值．

（1）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+
a
2x1−1）-（2x2+
a
2x2−1）
=2x1−2x2+
a
2x1−
a
2x2=2x1−2x2+
a(2x2−2x1)
2x12x2
=
(2x1−2x2)(1−a)
2x12x2，
∵x₁＜x₂，∴2x1−2x2＜0，2x12x2＞0，
∵a＜0，∴1-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上是增函数；
（2）a=0时，f（x）=2^x-1，设y=g（x）的图象任一点为P（x，y），
则P（x，y）关于直线x=0对称点（-x，y）在y=f（x）的图象，
∴y=2^-x-1=
1
2x−1，即g（x）=
1
2x−1；
（3）由2x+
a
2x−1＝0得，2^2x-2^x+a=0，
设t=2^x，则t＞0，且方程变为t²-t+a=0，
∵a＜0，∴△=1-4a＞1，
∴方程的根为t1＝

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．

考点点评： 本题是综合题，考查了利用单调性的定义证明过程，利用对称性求函数的解析式，以及换元法求方程的根，注意换元后应求出对应的范围．