对顶三角形

用对顶三角形的性质求角
湖北省黄石市下陆中学　周国强
线段AB 、CD相交于点O,连结AB、CD,我们把这样的基本图形称之为“对顶三角形”（如图所示）．显见,“对顶三角形形”有如下性质：∠A+∠D＝∠C+∠B（读者可自已证明）．
对于求角问题,若图形中含有“8字形”,运用“8字形”的性质求解,可获事半功倍之效．
例1 如图1,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F＝_____度．
图中有若干个现成的“8字形”．因为∠A+∠B＝∠1＋∠3 ,∠C+∠D＝∠1＋∠2,∠E＋∠F＝∠2＋∠3,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝2×180＝360．
例2 如图2,在五角星中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
图中虽有现成的“8字形”,但不易将这五个角集中到同一三角形中来,故连BC,构造新的“8字形”．因为∠1+∠2＝∠A＋∠D,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠E＝∠E＋∠EBC＋∠ECB＝180．
例3如图3,若∠A＝120,∠B＝45,∠E＝33,∠F＝108求∠COD的度数．
连BE,构造四边形ABEF,因为∠A+∠ABE+∠BEF＋∠F＝360,所以∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB＝360－（120＋45＋33＋108）＝54,从而∠COD=126．
例4如图4,已知 ∠E＋∠F＝∠H,求：∠A＋∠B＋∠ACD＋∠CDG的度数．
过点H作HJ∥EB,则∠E＝∠EHJ,因为∠E＋∠F＝∠H,所以∠JHF＝∠F,所以HJ∥FG,从而EB∥FG．延长DC交EB于M,则∠BMD＋∠MDG＝180,又∠ICM＋∠ICD＝180,所以∠A＋∠B＋∠ACD＋∠CDG＝∠ICM＋∠IMC＋∠ACD＋∠CDG＝（∠ICM＋∠ACD）＋（∠IMC＋∠CDG）＝180＋180＝360．
例5 如图5,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N．解答下列问题：
(1)若∠D＝40,∠B＝36,求∠P的度数；
(2)如果图中的∠D和∠B为任意角时,其它条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?（直接写出结论即可）
（1）由“8字形”的性质知∠DAP＋∠D＝∠DCP＋∠P,
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P,
即∠P＝∠DAP＋∠D－∠DCP ①,
∠P＝∠PCB＋∠B－∠PAB ②．
由条件知∠DAP＝∠PAB,∠PCB＝∠DCP,
①＋②得 2∠P＝∠D＋∠B＝40＋36＝76,
（2）仿（1）易知∠P与∠D、∠B之间的之间的关系为∠P＝（∠D＋∠B）．
练习：
如图,BD是△ABC中∠ABC的角平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线,它与BD的延长线交于点D,我们将会得到∠A＝2∠D这一结论,试想一想为什么?并加以说明．