选修4-2：（矩阵与变换）已知a，b∈R，若矩阵M=−1ab3所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值

解题思路：因为矩阵M=

−1 a b 3

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，也就是说直线l上的点经过变换后没有变，我们可以任取直线l上的两点，对其进行变换列出两个方程，通过解方程求得a，b的值．

（方法一）在直线l上取两点（[3/2]，0），（0，-3）．
因为

−1a
b3


3
2
0=

−
3
2

3
2b，

−1a
b3

0
−3=

−3a
−9，…（6分）
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点（-[3/2]，[3/2]b），（-3a，-9）仍在直线l上．
代入直线方程得

−3−
3
2b＝3
−6a+9＝3解得

a＝1
b＝−4…（10分）
（方法二）设（x，y）为直线l上任意一点，则

−1a
b3

x
y=

−x+ay
bx+3y，…（3分）
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点（-x+ay，bx+3y）仍在直线l上，
代入直线方程得：2（-x+ay）-（bx+3y）=3，…（7分）
化简得（-2-b）x+（2a-3）y=3，又直线l：2x-y=3，
所以

−2−b＝2
2a−3＝−1解得

a＝1
b＝−4…（10分）

点评：
本题考点： 几种特殊的矩阵变换．

考点点评： 此题考查在特殊变换下的不变直线，我们可以根据特殊值法进行求解，是非常方便的，这也是高考中常用的方法．