求证：直角三角形斜边长一定,当两直角边相等时,这个直角三角形的周长最大,面积也最大

在RTΔABC中,当斜边c一定时,
取斜边中点O,连接OC,过C作CD⊥AB于D,
SΔABC=1/2AB*CD=1/2 c*CD≤1/2 c*CO=1/4c^2,
当且仅当CD=1/2AB时取等号,
即斜边上的高与中线重合,
∴ΔABC是等腰直角三角形.
a+b+c=c(sinA+cosA)+c
=√2c(sinA*cosπ/4+cosA*sinπ/4)+c
=√2c*sin(A+π/4)+c
≤（√2+1)c.
当且仅当sin(A+π/4)=1,
即A=B=π/4,∴ΔABC上等腰直角三角形.