数列求和1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + 99*100*101*102 = (99*

挺不错的一道题,不过给出了答案,难度陡降
数学归纳法：
我们来证明：
1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
当n=1时,有：
1*2*3*4 + 2*3*4*5 = 2*3*4*5*(1/5 +1) = 2*3*4*5*6/5
假设命题在n=k时成立,于是：
1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证
ps：
嗯,可以,不过先声名一下,以上是标准的数学归纳法证明,并无漏洞
下面给出另一种方法：
拆分法（裂项相消法）：
考虑和式中任意一项,一般形式：
k(k+1)(k+2)(k+3)
注意到：
k(k+1)(k+2)(k+3)
= k(k+1)(k+2)(k+3)*5/5
= k(k+1)(k+2)(k+3)*[(k+4)-(k-1)]/5
= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5 - (k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)/5
这样就把原来的一项裂成了两项,并且和式中中间各项一正一负前后消去
所以：
原式
= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + 99*100*101*102
= 1*2*3*4*5/5 + (2*3*4*5*6/5 - 1*2*3*4*5/5) + (3*4*5*6*7/5 - 2*3*4*5*6/5) +...+ (99*100*101*102*103/5 - 98*99*100*101*102/5)
= 99*100*101*102*103/5
证毕