已知函数f（x）=x 2 +bx（b∈R）， g(x)=x+ a x (a∈R) ， H(x)= f(g(x))，f(x

（I）当a=b=1时，f（x）=x ² +x， g(x)=x+
1
x
由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵ f[g(x)]=f(x+
1
x ) = ( x+
1
x ) 2 +(x+
1
x )
g[f（x）]=g（x ² +x）= x 2 +x+
1
x 2 +x
∴ H(X)=

(x+
1
x ) 2 +(x+
1
x )，x≥1或x＜0
x 2 +x+
1
x 2 +x ，0＜x≤1
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即 x 2 +bx≥x+
1
x 在[2，+∞）恒成立
∴ b≥-x+1+
1
x 2 在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）= -x+1+
1
x 2 ，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x） _max =h（2）= -
3
4
∴ b≥-
3
4
（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于 g(x)=x+
a
x 在（0，
a ]单调递减，在 [
a ， +∞) 单调递增
∴ g(x)≥g(
a )=2
a ＞0
∵c+ f(g(x))=(x+
a
x ) 2 +b(x+
a
x ) +c在[2
a ，+∞）单调递增
∴c+ f[g(x)]≥f(2
a ) +c= 4a+b
a +c＞0 在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假设错误即b，c至少有一个为非负数