已知⊙O1：(x−1)2+y2＝9，⊙O2：x2+y2−10x+m2−2m+17＝0(m∈R)．

解题思路：（Ⅰ）把两个圆的方程化为标准方程，再根据圆心距与两个圆的半径之间的关系，确定两个圆的位置关系．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x−1)2+y2＝9相交，将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程．
（2）由（1）求得抛物线C的方程为y²=12x，若直线l₂⊥x轴，则|OA|＝|OB|＝3

5

，|AB|＝12，由余弦定理求得cosα=-[3/5]．若直线l₂不与x轴垂直，用点斜式设出直线
l₂的方程，并把它代入抛物线方程可得，ky²-12y-36k=0．利用韦达定理及两个向量的夹角公式求得cosα≥−

3

5

，从而求得α最大时cosα的值．

（Ⅰ） x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化简成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，∴O₂（5，0），
又∵⊙O1：(x−1)2+y2＝9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．
由条件可知-（m-1）²+9＞0，即-2＜m＜4，
∴
−(m−1)2+9＜4−3＝1⇔⊙O₁和⊙O₂相离，
−(m−1)2+9=4-3=1⇔⊙O₁和⊙O₂外切，1＜
−(m−1)2+9≤3⇔⊙O₁和⊙O₂相交．
所以，当−2＜m＜1−2
2或1+2
2＜m＜4时，⊙O₁和⊙O₂相离，当m＝1−2
2或m＝1+2
2时，⊙O₁和⊙O₂外切，
当1−2

点评：
本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题主要考查两个圆的位置关系的判定，求两个圆的公共弦所在的直线方程，两个向量的夹角公式，属于中档题．