已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为

解题思路：（1） 设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，由直角三角形相似及内接正三棱柱的侧面积，解方程求出正三棱柱的高．
（2） 利用两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 [15 −x/15]，把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．

（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得 [15−x/15]=

2
3×

3
2a

2
3×

3
2×12，
∴a=[60−4x/5]，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=3[60−4x/5] x，
x²-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 [15 −x/15]，
当x=10 时，相似比为[1/3]，故两个棱锥的侧面积之比等于[1/9]，
当x=5时，相似比为[2/3]，故两个棱锥的侧面积之比等于[4/9]，
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为：1：9或4：9．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

考点点评： 本题考查棱柱、棱锥的侧面积的求法，面积比与相似比的关系．