vgo78
幼苗
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法一:数学归纳法
(1)当n=2时,左边=(ln2)/3
右边=1/2
∵(ln2)/3<(lne)/3=1/3<1/2
∴左边<右边,命题成立
(2)假设n=k(k≥2且k∈Z)时成立
即(ln2)/3+ln(3)/4+.+(lnk)/(k+1)<[k(k-1)]/4
则n=k+1时
左边=(ln2)/3+ln(3)/4+.+(lnk)/(k+1)+(lnk+1)/(k+2)
<[k(k-1)]/4+ln(k+1)/(k+2)
<[k(k-1)]/4+1
<[k(k-1)]/4+k/2
=[(k+1)k]/4
则当n=k+1也成立
综上,
由(1)、(2)可知,原命题成立
法二:利用恒等式lnx≤x-1(当x>0时)
令x=n^2,有lnn^2≤n^2-1
即2lnn≤(n+1)(n-1)
∴(lnn)/(n+1)≤(n-1)/2
∴原式=1/2+2/2+3/2+...+(n-1)/2
=n(n-1)/4
当n=1时取等号,而本题中n>1
故原命题得证
1年前
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