设函数f（x）=xα-lnx，（参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099）

解题思路：（1）函数f（x）=x^α-lnx，把α=2代入f（x），对其进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调性；
（2）已知不等式f（x）＞0恒成立，将问题转化为f（x）的最小值大于0即可，利用导数研究f（x）的最值问题，从而求解；
（3）可以利用数学归纳法进行证明，注意归纳法证明的步骤，要写清楚；

（1）∵函数f（x）=x^α-lnx，∵α=2，
∴f′（x）=2x-[1/x]=
2x2−1
x（x≥0）
当f′（x）＞0时，x＞

2
2，f（x）为增函数；
当f′（x）＜0时，0＜x＜

2
2，f（x）为减函数；
∴函数f（x）的单调增区间：（

2
2，+∞）；
函数f（x）的单调减区间：（0，

2
2）；
（2）∵不等式f（x）＞0恒成立，
∴f（x）的最小值大于等于0，即可，
f′（x）=αx^α-1-[1/x]，
令f′（x）=0，可得x=
α
1
α
，是惟一的极值点，也是最小值点，
f（x）_min=f（
α
1
α
）=[(
1
α)
1
α]^α-ln(
1
α)
1
α=[1/α]-[1/α]ln[1/α]=[1/α]（1-ln[1/α]）＞0，
解得α＞[1/e]；
（3）用归纳法进行证明：
当n=1，可得1＜4成立；
假设当n=k时不等式成立，即1
1
1•2
1
4•3
1
9…k
1
k2＜4成立，
那么当n=k+1时，
有1
1
1•2
1
4•3
1
9…k
1
k2•(k+1)
1
(k+1)2＜4×(k+1)
1
(k+1)2，
∵n
1
n2=
n2n
，令f（x）=x
1
x2，两边取对数：
lnf（x）=[1
x2lnx，（x＞0），当x＞0时，x＞lnx
两边求导
f′(x)
f(x)=
x−lnx
x4，可得f′（x）=
x−lnx
x4f（x）=
x−lnx
x4•x
1
x2＞0，
f（x）为增函数，当x→+∞，可有
x2x/]=1，
∴0＜n
1
n2＜1，令n=k+1，
∴0＜(k+1)
1
(k+1)2＜1，
∴4×(k+1)
1
(k+1)2＜4，
∴n=k+1时不等式也成立；
∴1
1
1•2
1
4•3
1
9…n
1
n2＜4即证；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明．

考点点评： 此题考查利用导数研究函数的单调性，第一问是特殊条件，第二问是一般条件，第三问比较难，利用数学归纳法进行证明，会比较困难，考查的知识点比较多，是一道难题．