已知函数f(x)=ln2(1+x)−x21+x,g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x.

已知函数f(x)=ln2(1+x)−
x2
1+x
,g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x.
(1)证明:当x∈(0,+∞)时,g(x)<0;
(2)求函数f(x)的极值.
追一米阳光 1年前 已收到1个回答 举报

outlook8 花朵

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解题思路:(1)研究g(x)<0,转化成研究函数g(x)的最大值,从而研究g′(x)的符号,求出g′(x)的最小值,得到g(x)在(0,+∞)上的单调性,求出g(x)的最大值即可.
(2)连续可导函数,讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值即可.

(1)g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,
则g′(x)=2ln(1+x)-2x.
令h(x)=2ln(1+x)-2x,
则h′(x)=
2
1+x−2=
−2x
1+x.(1分)
当-1<x<0时,h′(x)>0,h(x)在(-1,0)上为增函数.
当x>0时,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上为减函数.(3分)
所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,
所以g′(x)<0(x≠0),
函数g(x)在(0,+∞)上为减函数.(4分)
当x>0时,g(x)<g(0)=0.(5分)
(2)函数f(x)的定义域是(-1,+∞),
f′(x)=
2ln(1+x)
1+x−
x2+2x
(1+x)2=
2(1+x)ln(1+x)−x2−2x
(1+x)2,(6分)
由(1)知,
当-1<x<0时,g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x>g(0)=0,
当x>0时,g(x)<g(0)=0,所以,当-1<x<0时,
f′(x)>0∴f(x)在(-1,0)上为增函数.
当x>0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数.(8分)
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),
单调递减区间为(0,+∞).故x=0时f(x)有极大值0.(10分)

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值.

考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及不等式转化成恒成立问题,属于难题.

1年前

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