（2004•扬州）如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、
（2004•扬州）如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、
B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．
（1）求证：△ACD∽△BPD；
（2）求证：BE=2BP；
（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．
B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．（1）求证：△ACD∽△BPD；
（2）求证：BE=2BP；
（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．
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（1）证明：
∵四边形APDC是小圆的内接四边形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEA=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．
（2）证明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴[AD/BD]=[AB/BE]
由（1）的相似三角形可得[AC/BP]=[AD/BD]
∴[AB/BE]=[AC/BP]，即[AB/AC＝
BE
BP]=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=
2，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：[AB/2]=
2，
∴PB=
2
2AB时，DE=2AD．
∵四边形APDC是小圆的内接四边形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEA=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．
（2）证明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴[AD/BD]=[AB/BE]
由（1）的相似三角形可得[AC/BP]=[AD/BD]
∴[AB/BE]=[AC/BP]，即[AB/AC＝
BE
BP]=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=
2，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：[AB/2]=
2，
∴PB=
2
2AB时，DE=2AD．
1年前
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